Резюме

Математическите прогнози в борбата с епидемиите тепърва ще достигнат своето съвършенство. Бързото разпространение, начините и процедурите, свързани със сдържането на пандемия, изискват най-ранното разбиране за намиране на решения в съответствие с обичайните, физиологични, биологични и екологични аспекти на живота с по-добро компютърно математическо моделиране и прогнози. Епидемиологичните модели са ключови инструменти в програмите за управление на общественото здраве, въпреки че имат високо ниво на несигурност във всеки един от тези модели. Тази статия описва резултатите и предизвикателствата на моделите SIR, SEIR, SEIRU, SIRD, SLIAR, ARIMA, SIDARTHE и др., Използвани при прогнозиране на разпространение, пик и намаляване на случаите на Covid-19.

моделиране

1. Въведение

2. Математически модели и динамика на Covid-19

Сложното поведение на обемисти транзакции, което се случва на финансовия пазар, вдъхнови q-статистическа функционална форма (Tsallis & Tirnakli, 2020) по линия, подобна на епидемиологични модели, като SIR. В този модел увеличаването и намаляването на количественото поведение се предполага в уравнението

където N е броят на активните случаи, t0 константата, която показва първия ден от появата на епидемията, C нормализиращата константа, която отразява общото население на определена държава, q е експоненциалният израз. Сред четирите нетривиални параметъра α, β зависи от епидемиологичната стратегия, а γ, q зависи от биологията на корона вирус.

Въздействието на латентния период беше изследвано с помощта на математически модел SEIRU (Liu et al., 2020a) с постоянно забавяне във времето, където S е броят на индивидите, податливи на инфекция, E е броят на асимптоматичните неинфекциозни индивиди, I е броят на асимптоматични, но инфекциозни индивиди, R е броят на докладваните симптоматични инфекциозни индивиди, а U е неотчетените симптоматични инфекциозни индивиди. Диференциалните уравнения със забавяне (DDE) са използвани при разглеждане на латентния период, като същевременно се запазва продължителността на експозицията δ като постоянна, забавянето във времето в уравнението се определя като I (t), t ≥ t0 е времето в дни, t0 е началната дата на епидемията, S (t) е броят на индивидите, податливи на инфекция по време t, E (t) е броят на асимптоматичните неинфекциозни индивиди по време t, I (t) е броят на асимптоматичните, но инфекциозни индивиди по време t, R (t) е броят на докладваните симптоматични инфекциозни индивиди в момент t, а U (t) е броят на неотчетените симптоматични инфекциозни индивиди в момент t. Където

Изложеният клас се дава от интегралната формула и алтернативно под формата на диференциално уравнение

Предложеният модел на динамика на предаване (Wu et al., 2020) има компонент на възрастовата чувствителност към симптоматична инфекция sCFRs с 8 променливи.

където θ представлява набор от параметри, които подлежат на извод.

Параметри Описание
R 0 Основно репродуктивно число, което е линейно свързано със скоростта на предаване β
ϕ 0 Относителното намаляване на предаваемостта след срещу блокиране на Ухан на 23 януари 2020 г.
z 0 Броят на инфекциите, генерирани от засевното зоонозно събитие
sCFRiСимптоматичният риск от летален изход за възрастова група i, i = 1, ..., m
α i Относителната податливост към инфекция на възрастова група i в сравнение с тези на възраст 30–39 години, i = 1,……, m
(μ D, α D)Средно и стандартно отклонение за времето между началото и смъртта
(μ S I, σ S I)Средно и стандартно отклонение на серийния интервал
ε Делът на инфекциите от хора към хора, потвърдени между 1 декември 2019 г. и 4 януари 2020 г.

Извлеченият пространствено-времеви модел на „източник на риск“ (Jayson et al., 2020) има индекс за оценка на риска от предаване, който използва данните за потока на населението във времето за различни места. Промените в разпределението и растежа на епидемичния извънреден труд са получени с помощта на рамка за пропорционални опасности на Кокс с променлива във времето функция на степента на опасност λ0 (t), където λ (t/xi) е функцията на опасност, която описва броя на кумулативно потвърдените случаи в време t за дадено население.

Моделът SEIR (чувствителен, изложен, заразен и премахнат) (Wang et al., 2020a, Wang et al., 2020b) е приложен за оценка на епидемичната тенденция в Ухан, Китай, до 29 февруари 2020 г. Диференциалните уравнения на SEIR моделът е даден като:

където β е скоростта на предаване, σ е скоростта на инфекция и γ е скоростта на възстановяване. Броят на инфекциите, оценен с помощта на този модел, е 81 393, а действителният брой, отчетен от публичното достояние на 29 февруари, е 79 500. Използвайки подобен модел (Li et al., 2020b), прогнозира 39 000 инфекции в Хубей за 10 март 2020 г. и действителният докладван брой е 67 760.

Моделът на простите възприемчиви заразени-възстановени смъртни случаи (SIRD) (Fanelli & Piazza, 2020) използва индикативен процент на възстановяване въз основа на кинетичния параметър, докато процентът на инфекция и смъртност изглежда е по-променлив.

P = (C, R, D), където, C е популацията от кумулативно потвърдени заразени хора, R е възстановените хора и D е общата докладвана смърт. Този модел прогнозира 26 000 в Италия на 21 март 2020 г. и световният измервателен уред показа 53 578 случая.

Предложеният евристичен модел (Koczkodaja et al., 2020) има експоненциална крива за сближаване, получена от експоненциалната функция f (.) И предложената евристика е

за изчислителни параметри a и b се разглеждат от експоненциалната крива a ∗ exp (b ∗ x), където x определя броя на случаите в определен ден. Очакваните случаи на COVID-19 в останалия свят, различен от Китай, на 31 март са били 1 000 000, а действителната отчетена цифра е 823 626 на тази дата, публикувана от СЗО.

Изборът на модел на Akaike Information Criterion (AIC) модел (Roda et al., 2020), използван за сравняване на стандартните рамки SIR и SEIR, извежда уравнението

където K е броят на параметрите, които трябва да бъдат оценени, N е броят на времевите точки, а L (θ ˆ MLE) е максималната очаквана стойност. Информационният критерий Akaike е приложен въз основа на еднакви разпределения за всеки един от параметрите.

Използвайки резултатите от калибрирането на моделите SIR и SEIR, изчисленият коригиран информационен критерий AAike AICc беше изчислен

Числовата разлика, установена с помощта на данните, беше достатъчно голяма и показва прогнози, използващи по-сложни модели като SEIR, имат недостатък пред по-прост модел като SIR.

Моделът PASSA-ANFIS (Al-qaness et al., 2020) е подобрена адаптивна невро-размита система за извод (ANFIS), която използва усъвършенстван алгоритъм за опрашване на цветя (FPA) и алгоритъм на рояк на сол (SSA). Целта на SSA е да подобри FPA, за да избегне неговите недостатъци (т.е. да се заклещи в локалната оптима), като по този начин подобри производителността на ANFIS чрез определяне на параметрите на ANFIS с помощта на FPASSA.

Изведен е алгоритъм, базиран на информация за пациента [26] за оценка на смъртността от COVID-19, като се има предвид времето от тежко заболяване. Уравнението беше определено като

където D = смъртност, Mμ = смъртност с μ дни, Wμ = тегло с μ дни разлика, μ = средно в нормалното разпределение, σ = стандартно отклонение.

Въведеният SLIAR епидемичен модел (Fanelli & Piazza, 2020) (чувствителни, латентно заразени, симптоматични и асимптоматични инфекциозни и отстранени индивиди) има прости вариации в класическото уравнение от инкубация до разпространение на болестта. Моделът на епидемия SL1L2I1I2A1A2R включва Erlang разпределение на времената на пребиваване в инкубационни, симптоматични и асимптоматични инфекциозни отделения и уравнението беше

Моделът на ARIMA от времеви редове (Benvenuto et al., 2020; Ceylan, 2020; Ting Cao et al., 2020) е използван за определяне на общото разпространение на COVID-19 в Италия, Испания и Франция. Данните на COVID-19 оценяват конформираните случаи на 25 април като 196 520–229 147 в Италия, 204 755–257 497 в Испания и 140 320–159 619 във Франция. Действителните стойности, отчетени на този ден, са Италия 195,351 Испания 223,759 и във Франция 124,114.

Прост линеен регресионен анализ (Ghosal et al., 2020) е използван при прогнозирането на случаи в Индия. Този модел прогнозира смъртност около 467 до 30 април 2020 г., а действителната информация е 1074.

Епидемичният модел SEIRQ (чувствителен, изложен, инфекциозен, възстановен) (Hu et al., 2020) (Zengyun Hu), използван за прогнозиране на вариациите на болестта в Гуангдонг, прогнозиран 1589 г. на 13 май 2020 г.

Математическият модел (Vega, 2020), основан на методологията за динамика на системите, следващ модела SIR, има четири променливи, които представят болничния капацитет, общите контакти, контактите със заразени и смъртните случаи. Моделът е даден в следната форма.

където i t - време на инкубация, I-инфектиран, β - инфекциозност, продължителност на Dd-болестта, Fr - смъртност.

Отделеният математически модел (Ndairou et al., 2020), който е взел предвид феномена на свръх разпространение на индивида и докато го прави, постоянният общ размер на популацията N е подразделен на осем епидемиологични класа като чувствителен клас (S), изложени клас (E), симптоматичен и инфекциозен клас (I), клас супер-разпространители (P), инфекциозен, но асимптоматичен клас (A), хоспитализиран (H), клас на възстановяване (R) и клас на смъртност (F) уравнение

Предаваемостта (Daw & El-Bouzedi, 2020) на COVID-19 в северноафриканския регион беше оценена с помощта на метода на серийния интервал, със средна стойност от 7,5 дни и стандартно отклонение от 3,4 дни. Броят на заразените индивиди се очаква да достигне своя връх в началото на май 2020 г. (80 дни от започване) е 750–1200 в страните от Северна Африка Египет Либия, Тунис, Алжир, Мароко.

Броят на случаите на COVID-19 в Индия 30 дни напред беше прогнозиран с помощта на метод за прогнозиране, управляван от данни, като модел на дългосрочна краткосрочна памет (LSTM) (Anuradha & Gupta, 2020) и приспособяването на кривата са използвани за оценка на възможните брой положителни случаи на COVID-19.

Структурата на LSTM се състои от четири порта. Входната порта, забравящата порта, контролната порта и изходната порта. Входната порта беше дефинирана като тя = σ (W i × [ht - 1, xt] + bi), портата за забравяне ft = σ (W f × [ht - 1, xt] + bf), контролната порта C t = ft ∗ C t - 1 + it ∗ C t ˜, а портата на изходния слой ot = σ (W o × [ht - 1, xt] + bo), където σ е активиращата функция, а стойността на скалата е -1 до 1.

Моделът LSTM прогнозира 95 000 случая до края на април 2020 г., а действителният доклад е 82 862.

Хибридният авторегресивен интегриран плъзгащ се среден модел, съчетан с базиран на вейвлет модел за прогнозиране (ARIMA-WBF) (Chakraborty & Ghosh, 2020), беше използван за определяне на прогнозата в реално време и критичния рисков фактор. Данните, получени заедно от ARIMA и WBF, са използвани за прогнозиране на разпространението на епидемията.

Моделът Segmented Poisson (Zhang et al., 2020) има интервенции като престой у дома, заключване, карантина и социално дистанциране. Чрез напасване на наличните ежедневно нови случаи се прогнозира пиковото време на новите случаи, продължителност, краен размер и скорост на атака на огнището. Определяха се ежедневните нови случаи като функция от времето t, съчетано със степенна и експоненциален закон. Проучването включва намесата на правителството (съвети/заповеди за престой вкъщи, заключвания, карантини и социално дистанциране, за да се направи статистическа прогноза за повратната точка (времето, в което ежедневните нови случаи достигат връх), продължителността (периода, през който избухването продължава) и честотата на атаките (процентът от общото население, което ще бъде заразено по време на избухването) в страните Канада, Франция, Германия, Италия, Великобритания и САЩ и направи прогнозите, използвайки уравнението

Стохастичният чувствителен, изложен, инфекциозен, лекуван и възстановен (SEITR) модел (Otunuga & Ogunsolu, 2020) има входни опции за множество етапи на инфекция, лечение и външни колебания в предаването.

където '∘ ’ обозначава интеграла на Стратонович и C (t), W i (t), Z i (t), Z i ¯ (t), i = 1,2, ..., n, са стандартният процес на Wiener във филтрирано вероятностно пространство ( Ω, (F t) t≥0, ℙ). Първоначалният процес x (t 0) = (S (t 0), E (t 0), I 1 (t 0),…, I n (t 0), T 1 (t 0),…, T n ( t 0), R (t 0)) не зависи от. C (t) - C (t 0), W i (t) - W i (t 0), Z i (t) - Z i (t 0) и Z i ¯ (t) - Z i ¯ (t 0 ), i = 1,2, ..., n .

Последователните симулации на Монте Карло (Kucharski et al., 2020) включиха скоростта на предаване във времето в модела SEIR. Променливите като симптоматични случаи съобщават за настъпване на нови случаи, потвърдени случаи и биномиален процес на наблюдение на разпространението на инфекцията при евакуационни полети са използвани при оценка на величината на временната променливост при предаване.

Изчислителният метод (Liu et al., 2020b) е валидиран, като се вземат предвид четири чувствителни социални параметъра, като контакти между отделните домакинства и предаване в семействата (H), училища (S) и, физически работни места (W), обществени места и общности, като стадиони, пазари, площади и организирани обиколки (P).

Моделът iSEIR (Yuvan, Di, Gu, Qian & Qian, 2020) (индивидуален Susceptible-Exposed-Infective-Removed) позволява провеждане на симулации от индивидуално ниво, разположени на възлите на различни мрежи на общността, като включва неговата несигурност чрез диференциалните уравнения.

Разпределението на поведението на S, E, I и R може да бъде симулирано числено от модела iSEIR с правилно зададени стойности на параметрите в скалите на популацията въз основа на феномена на свръхнасищане, когато и двете променливи на супер наситеността „E (t)“ и „I (т) ”пада и не се увеличава повече.

Моделът SIDARTHE (Giulia et al., 2020) широко разглежда осем етапа на инфекция. S, податлив (неинфектиран); I, заразени (асимптоматични или pauci-симптоматично заразени, неоткрити); D, диагностициран (асимптоматично инфектиран, открит); A, болен (симптоматично инфектиран, неоткрит); R, разпознат (симптоматично инфектиран, открит); Т, застрашен (открит със симптоми, застрашаващи живота); Н, излекуван (възстановен); E, изчезнал (мъртъв). Взаимодействията между тези етапи са обяснени и пропуснати вероятността да станат податливи след възстановяване от инфекцията.

Моделът SIR за дискретно време (Anastassopoulou et al., 2020) съдържа мъртвите индивиди въз основа на официалното преброяване на потвърдени случаи. Моделът предлага кумулативният брой инфекции да достигне 180 000 (с долна граница от 45 000) до 29 февруари. Действителната цифра е около 80 026.

Моделът SEIR, ориентиран към контрола (Casella, 2020), подчертава ефектите от закъсненията и сравнява резултатите от различните политики за ограничаване. В този случай целта е да се намали възпроизводственото число Rt, което е броят на хората, заразяващи средно заразен човек. Основният SEIR модел беше преформулиран, както следва

броят на докладваните заразени случаи Ir (t), средното закъснение от Tt дни между началото на инфекцията и момента на вземане на теста за тампон, забавяне на Tr дни преди получаване на резултата, β (u) е несигурна функция, ε и γ, са несигурни постоянни параметри, Tt, Tr е несигурни параметри и τ m = Tt + Tr е общото закъснение на измерването.

Прост подход за математическо моделиране (Tang & Wang, 2020) е използван в САЩ и три избрани щати: Ню Йорк, Мичиган и Калифорния. Въз основа на анализа, изчислените случаи достигат около 1,1 милиона до края на юни от броя на 785 000 на 20 април 2020 г. в САЩ. В Мичиган прогнозират общият брой на случаите да достигне около 45 000 до края на юни. В Ню Йорк се очаква случаите да скочат от 2,48 000 на 20 април на 320 000 до края на юни. В Калифорния общият брой на случаите към края на юни е 47 000.

Публикуваните математически модели не само се фокусираха върху съмнения, инфекциозни и възстановени и допълнително развиха няколко хипотези в множество посоки, представляващи широка категория хора, които са заразени, вероятно са заразени, има съмнения, че са заразени и хората, които могат или не могат да имат симптоми и контакти с болница, както и хора с потвърдени лабораторни изследвания и такива, които са диагностицирани погрешно. Най-добрият начин за сравнение на тези модели в момента се основава на това, което знаем за болестта и какви са входа на модела, заедно с известен скептицизъм и предположенията, придружаващи всеки един от модела.